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Neue Aufgaben

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+ 104
- 7
gesoBMP2024/Pruefung.tex View File

@@ -28,7 +28,7 @@ Was ist der $y$-Achsenabschnitt dieser Funktion?
28 28
 Der $y$-Achsenabschnitt von $f$ beträgt: \LoesungsRaum{-2.3}
29 29
 
30 30
 
31
-\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
31
+\platzFuerBerechnungen{8}%%
32 32
 \end{frage}
33 33
 
34 34
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -60,21 +60,41 @@ $$a = \frac{96}{2^4} = 6$$
60 60
 \end{frage}%%
61 61
 
62 62
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
63
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
63
+\begin{frage}[4]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
64 64
 In einem trüben See nimmt die Lichtintensität pro Meter um 37\% ab.
65 65
 
66 66
 Ein anfänglich mit 100\% leuchtendes LASER-Licht leuchtet in diesen
67 67
 See.
68 68
 
69
-a) Wie groß ist die Lichtintensität in 4 m Entfernung unter Wasser?
69
+a) Geben Sie den Abnahmefaktor der Lichtintensität an:
70
+\vspace{12mm}
71
+Der Abnahmefaktor beträgt \LoesungsRaum{0.63}.
72
+
73
+\platzFuerBerechnungen{2.4}%%
74
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe a}
75
+
76
+
77
+
78
+b) Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung $y = f(x)$ an, welche den
79
+exponentiellen Zerfall der Lichtintensität beschreibt. Dabei ist x die
80
+Distanz in Metern und y die Intensität in \%.
81
+
82
+\vspace{12mm}
83
+Eine mögiche Zerfallsfunktion wäre $f: y= \LoesungsRaumLang{100\%\cdot{}0.63^x}$.
84
+
85
+\platzFuerBerechnungen{2.4}%%
86
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe b}
87
+
88
+
89
+c) Wie groß ist die Lichtintensität in 4 m Entfernung unter Wasser?
70 90
 \vspace{12mm}
71 91
 Die Intensität beträgt noch \LoesungsRaum{15.75\%}. (Angabe in \% auf
72 92
 mind. zwei Dezimalen.
73 93
 
74
-\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
75
-\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe 1}
94
+\platzFuerBerechnungen{3.2}%%
95
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe c}
76 96
 
77
-b) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
97
+d) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
78 98
 auf 1\% abgefallen?
79 99
 \vspace{12mm}
80 100
 In \LoesungsRaum{9.967} m ist die Intensität noch 1\% von den
@@ -95,7 +115,47 @@ $$x = \log_{0.63}(0.01) = \frac{\lg(0.01)}{\lg(0.63)}\approx 9.967$$
95 115
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
96 116
 \section{Wahrscheinlichkeitsrechung}
97 117
 
98
-\begin{frage}[1]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
118
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
119
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
120
+Brenda Brillant hat 20 Fingerringe.
121
+
122
+a) Angenommen sie trägt an beiden
123
+Ringfingern je einen dieser 20 Fingerringe. Auf wie viele Arten ist
124
+dies möglich, wenn der linke und der rechte Ringfinger unterschieden
125
+werden?
126
+
127
+\vspace{12mm}
128
+
129
+
130
+So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$20\cdot{}19 = 380$} Arten ihre Ringe tragen.
131
+
132
+\platzFuerBerechnungen{4}
133
+\TRAINER{0.5 Punkte für eine der Zahlen 20 oder 19. Voller Punkt für
134
+das Resulat 380}%%
135
+
136
+
137
+b) Brenda zieht nun acht Ringe an (die Daumen läßt sie frei).
138
+Auf wie viele Arten kann Brenda die acht Ringe der 20 Ringe auswählen,
139
+wenn die Reihenfolge an den Fingern keine Rolle spielt?
140
+
141
+
142
+\vspace{12mm}
143
+
144
+
145
+So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$\frac{20!}{12!8!} = 125\,970$} Arten ihre Ringe tragen.
146
+
147
+\platzFuerBerechnungen{8}
148
+\TRAINER{Einen Punkt für die korrekte Formel (nCr oder mit
149
+Fakultät). Zweiten Punkt für die korrekte Lösung.}%%
150
+
151
+
152
+
153
+\end{frage}
154
+
155
+
156
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
157
+
158
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
99 159
 Robin hat 20 Farbstifte. Alle sind stumpf und müssen gespitzt werden.
100 160
 Robin nimmt drei davon, spitzt diese und legt sie zurück.
101 161
 
@@ -146,7 +206,44 @@ $$P(\text{mind. 1}) = 1 - P(\text{keiner}) = 1 - \frac{34}{57}
146 206
 \TRAINER{}%%
147 207
 \end{frage}
148 208
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
209
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
210
+Ein BMS-Semester von Lou besteht aus 22 Schultagen. An sechs Tagen davon finden
211
+Semesterprüfungen in Mathematik statt. Die Wahrscheinlichkeit, dass
212
+ein BMS-Tag gleichzeitig ein Mathematik-Prüfungstag ist ist demnach
213
+
214
+\vspace{12mm}
215
+
216
+$p=\LoesungsRaum{\frac{6}{22}}$.
217
+
218
+
219
+Lou hat in diesem Semester an vier Tagen gefehlt.
220
+
221
+Angenommen das Fehlen von Lou hat nichts mit den
222
+Mathematik-Semesterprüfungen zu tun und ist rein zufällig, sowie auch
223
+das Auftreten der Mathematik-Prüfungen zufällig über das Semester
224
+verteilt ist. Wie klein
225
+ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lou genau drei seiner vier
226
+Fehltage im Semester an einer Mathematik-Semesterprüfung fehlt.
149 227
 
228
+\vspace{22mm}
150 229
 
230
+Diese Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$  beträgt \LoesungsRaumLang{5.901}\% (Angabe
231
+in \% auf mind. 4 Dezimalen).
232
+\platzFuerBerechnungen{8}%%
233
+\TRAINER{
234
+$$P(X=3) = {4\choose
235
+3} \cdot{} \left(\frac{6}{22}\right)^{3} \cdot{} \left(1-\frac{6}{22} \right)^{4-3} \approx 5.901\%$$
236
+
237
+Ein halber Punkt für $p=6/22$
238
+Ein halber für 3 aus 4.
239
+Ein  Punkt fürs Aufstellen der Bernoulli-Formel oder fürs
240
+korrekte Eintippen der drei Zahlen in den TR.
241
+Ein halber Punkt für die Lösung als Faktor.
242
+Der letzte halbe Punkt fürs korrekte Darstellen der Lösung in \%.
243
+}%%
244
+\end{frage}
245
+
246
+
247
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
151 248
 
152 249
 \end{document}%

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