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%% Semesterprüfung BMS
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\input{bbwLayoutPruefung}

\renewcommand{\pruefungsThema}{BMP 2023}
\renewcommand{\klasse}{GESO}
\renewcommand{\pruefungsNummer}{}
\renewcommand{\pruefungsDatum}{}
\renewcommand{\pruefungsVorgabeZeit}{}
\renewcommand{\inPapierform}{}
\renewcommand{\pruefungsHilfsmittel}{Taschenrechner, Formelsammlung}

\begin{document}%%
\pruefungsIntro{}

%% Erster Titel
\section{Funktionen}
\begin{frage}[1]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Von der linearen Funktion $f: y=ax+b$ ist die Steigung 2.4
gegeben. Ebenso ist bekannt, dass die Funktion duch den Punkt
$P=(4|7.3)$ verläuft.

Was ist der $y$-Achsenabschnitt dieser Funktion?
\vspace{12mm}

Der $y$-Achsenabschnitt von $f$ beträgt: \LoesungsRaum{-2.3}


\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
\end{frage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Die Potenzfunktion $y=a\cdot{}x^n$ geht durch die beiden Punkte
$P=(2|96)$ und $Q=\left(\frac13 \middle| \frac2{27}\right)$

Berechnen Sie die Parameter $a$ und $n$ und geben Sie die
Funktionsgleichung an:

$$y=\LoesungsRaumLang{6\cdot{}x^4}$$
\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
\TRAINER{1 Punkt für das Einsetzen der Punkte:

I: $96 = a \cdot{} 2^n$

II: $\frac{2}{27} = a \cdot{} \left( \frac13 \right)^n$

Ein halber Punkt für das Separieren einer Variable \zB:
$$a = \frac{96}{2^n}$$
Ein ganzer Punkt fürs Berechnen eines der beiden Parameter:
$$\frac2{27} = \frac{96}{2^n} \cdot{} \frac1{3^n} = \frac{96}{6^n}$$
$$\Longrightarrow$$
$$\frac{48}{27} = 6^n \Longrightarrow n = \log_{6}(\frac{48}{27}) = 4$$
0.5 Punkte für die 2. Variable
$$a = \frac{96}{2^4} = 6$$
}%% end TRAINER
\end{frage}%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
In einem trüben See nimmt die Lichtintensität pro Meter um 37\% ab.

Ein anfänglich mit 100\% leuchtendes LASER-Licht leuchtet in diesen
See.

a) Wie groß ist die Lichtintensität in 4 m Entfernung unter Wasser?
\vspace{12mm}
Die Intensität beträgt noch \LoesungsRaum{15.75\%}. (Angabe in \% auf
mind. zwei Dezimalen.

\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe 1}

b) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
auf 1\% abgefallen?
\vspace{12mm}
In \LoesungsRaum{9.967} m ist die Intensität noch 1\% von den
anfänglichen 100\%. (Angabe in Metern auf mind. 3 Dezimalen.)


\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
\TRAINER{Ein Punkt für die Gleichung (oder eine analoge Gleichung):
$$0.01= 0.63^x$$
Zweiter Punkt fürs Lösen der Gleichng und die Angabe als Dezimalzahl.
$$x = \log_{0.63}(0.01) = \frac{\lg(0.01)}{\lg(0.63)}\approx 9.967$$
}%%
\end{frage}



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\section{Wahrscheinlichkeitsrechung}

\begin{frage}[1]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Robin hat 20 Farbstifte. Alle sind stumpf und müssen gespitzt werden.
Robin nimmt drei davon, spitzt diese und legt sie zurück.

Wenn Robin nun aufs geratewohl zufällig wieder drei Farbstifte nimmt,
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ...

a) ...dass genau zwei davon breits gespitzt sind?

\vspace{12mm}
Diese Wahrscheinlichkeit
beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{17}{380} \approx 4.47\%$}. (Angabe exakt
oder in \% auf mind. zwei Nachkommastellen.)


\platzFuerBerechnungen{6}%%
\TRAINER{Lotto Wahrscheinlichkeit. 1Pkt für die korrekte Formel. 1Pkt
für die korrekte Lösung.

$$P(\text{genau 2}) = \frac{{ 3 \choose 2 }\cdot{}{ 17 \choose 1 }}{
{20 \choose 3} } = \frac{17}{380} \approx 4.47 \% $$}


b) ... dass mindestens einer davon bereits gespitzt ist?

\vspace{12mm}
Diese Wahrscheinlichkeit
beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{23}{57}\approx 40.351\%$}. (Angabe
exakt oder in \%
auf mind drei Nachkommastellen.)





\platzFuerBerechnungen{6}%%
\TRAINER{Am einfachsten mit der Gegenwahrscheinlichkeit. 1 Punkt für
die Formel, ein Punkt für Die Lösung. Alternativ ein Punkt für die
Idee «Gegenwahrscheinlichkeit», falls Formel und/oder Lösung falsch.

$$P(\text{genau 0}) = \frac{{ 3 \choose 0 } \cdot{} { 17 \choose 0 }}{{20 \choose 3} } = \frac{35}{57} \Longrightarrow$$

$$P(\text{mind. 1}) = 1 - P(\text{keiner}) = 1 - \frac{34}{57}
= \frac{23}{57} \approx 40.351\%$$


}

\TRAINER{}%%
\end{frage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\end{document}%